公式

参考地址：https://www.cnblogs.com/linxd/p/4955530.html

本文从math.stackexchange.com上名为MathJax basic tutorial and quick reference的问题翻译而来，并有所改动。主要讲述了如何使用MathJax和相关的Latex语法。

MathJax是一款运行在浏览器中的开源数学符号渲染引擎，使用MathJax可以方便的在浏览器中显示数学公式，不需要使用图片。目前，MathJax可以解析Latex、MathML和ASCIIMathML的标记语言。MathJax项目于2009年开始，发起人有American Mathematical Society, Design Science等，还有众多的支持者，个人感觉MathJax会成为今后数学符号渲染引擎中的主流，也许现在已经是了。本文接下来会讲述MathJax的基础用法，但不涉及MathJax的安装及配置。此外，推荐使用StackEdit学习MathJax的语法，它支持Markdown和MathJax，本文使用此编辑器撰写。

基础

使用MathJax时，需要用一些适当的标记告诉MathJax某段文本是公式代码。此外，MathJax中的公式排版有两种方式，inline和displayed。inline表示公式嵌入到文本段中，displayed表示公式独自成为一个段落。例如：$f(x) = 3 \times x$，这是一个inline公式，而下面则是一个displayed公式。

$$ f(x) = 3 \times x $$

分隔符

在MathJax中，默认的displayed公式分隔符有 $$...$$ 和\[...\]，而默认的inline公式分隔符为(...)，当然这些都是可以自定义的，具体配置请参考文档。下文中，使用$$...$$作为displayed分隔符，$...$作为inline分隔符。

希腊字母

名称 大写 Tex 小写 Tex
alpha Α A α \alpha
beta Β B β \beta
gamma Γ \Gamma γ \gamma
delta Δ \Delta δ \delta
epsilon Ε E ε \epsilon
zeta Ζ Z ζ \zeta
eta Η H η \eta
theta Θ \Theta θ \theta
iota Ι I ι \iota
kappa Κ K κ \kappa
lambda Λ \Lambda λ \lambda
mu Μ M μ \mu
nu Ν N ν \nu
xi Ξ \Xi ξ \xi
omicron Ο O ο \omicron
pi Π \Pi π \pi
rho Ρ P ρ \rho
sigma Σ \Sigma σ \sigma
tau Τ T τ \tau
upsilon Υ \Upsilon υ \upsilon
phi Φ \Phi φ \phi
chi Χ X χ \chi
psi Ψ \Psi ψ \psi
omega Ω \Omega ω \omega

上标与下标

上标：^，下标：_，例如x_i^2： $x_i^2$

默认情况下，上下标符号仅对下一个组起作用。一个组即单个字符或者使用{…}包裹起来的内容。也就是说，如果使用10^10，会得到$10^10$，而10^{10}才是$10^{10}$。

同时，大括号还能消除二义性，如x^5^6将得到一个错误，必须使用大括号来界定^的结合性，如{x^5}^6：${x^5}^6$或者x^{5^6}：$x^{5^6}$

括号

  • 小括号与方括号：使用原始的()，[]即可，如(2+3)[4+4]：(2+3)[4+4]

  • 大括号：由于大括号{}被用来分组，因此需要使用\{和\}表示大括号，也可以使用\lbrace和\rbrace来表示。如\{a*b\}：${ab}$，或者\lbrace a*b \rbrace：$\lbrace ab \rbrace$

  • 尖括号：使用\langle和\rangle表示左尖括号和右尖括号。如\langle x \rangle：$\langle x \rangle$

  • 上取整：使用\lceil和\rceil表示。如\lceil x \rceil：$\lceil x \rceil$

  • 下取整：使用\lfloor和\rfloor表示。如\lfloor x \rfloor：$\lfloor x \rfloor$

  • 不可见括号：使用.表示

需要注意的是，原始符号并不会随着公式大小缩放，可以使用\left(...\right)来自适应地调整括号大小。如下，

$$ \lbrace\sum_{i=0}^0 i^2 = \frac{(n^2+n)(2n+2)}{6}\rbrace $$ $$ \left\lbrace\sum_{i=0}^0 i^2 = \frac{(n^2+n)(2n+2)}{6}\right\rbrace $$

可以看到，下边公式中的大括号是经过缩放的。

求和与积分

\sum用来表示求和符号，其下标表示求和下限，上标表示上限。如\sum_1^n：$\sum_1^n$

\int用来表示积分符号，同样地，其上下标表示积分的上下限。如\int_1^\infty：$\int_1^\infty$

与此类似的符号还有：

\prod：$\prod$
\bigcup：$\bigcup$
\bigcap：$\bigcap$
\iint:$\iint$

分式和根式

分式的表示：

  • 第一种，使用\frac ab，\frac作用于其后的两个组a和b ，结果为$\frac ab$。如果你的分子或分母不是单个字符，请使用{…}来分组。
  • 第二种，使用\over来分隔一个组的前后两部分，如{a+1 \over b+1}：${a+1 \over b+1}$

根式使用\sqrt表示，如：\sqrt[4]{\frac xy}：$\sqrt[4]{\frac xy}$

字体

  • 使用\mathbb或\Bbb显示黑板粗体字，此字体经常用来表示实数、整数、有理数、复数。如$\Bbb {CHNQRZ}$
  • 使用\mathbf显示黑体字，如：$\mathbf {ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$
  • 使用\mathtt显示打印机字体，如：$\mathtt {ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$
  • 使用\mathrm显示罗马字体，如：$\mathrm {ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$
  • 使用\mathscr显示手写体，如，$\mathscr {ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$
  • 使用\mathfrak显示 Fraktur 字母（一种德国字体），如：$\mathfrak {ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$

特殊函数和符号

  • 常见的三角函数，如 $sin x$，$tanx$，$ lim1→∞$
  • 比较运算符：\lt \gt \le \ge \neq：$\lt \gt \le \ge \neq$。可以在这些运算符前面加上\not，如\not\lt：$\not\lt$
  • \times \div \pm \mp表示：$\times \div \pm \mp$，\cdot表示居中的点，x \cdot y：$x \cdot y$
  • 集合关系与运算：\cup \cap \setminus \subset \subseteq \subsetneq \supset \in \notin \emptyset \varnothing：$\cup \cap \setminus \subset \subseteq \subsetneq \supset \in \notin \emptyset \varnothing$
  • 表示排列使用\binom{n+1}{2k}或{n+1 \choose 2k}：${n+1 \choose 2k}$
  • 箭头：\to \rightarrow \leftarrow \Rightarrow \Leftarrow \mapsto：$\to \rightarrow \leftarrow \Rightarrow \Leftarrow \mapsto$
  • 逻辑运算符：\land \lor \lnot \forall \exists \top \bot \vdash \vDash：$\land \lor \lnot \forall \exists \top \bot \vdash \vDash$
  • \star \ast \oplus \circ \bullet：$\star \ast \oplus \circ \bullet$
  • \approx \sim \cong \equiv \prec：$\approx \sim \cong \equiv \prec$
  • \infty \aleph_o \nabla \partial \Im \Re：$\infty \aleph_o \nabla \partial \Im \Re$
  • 模运算 \pmode，如 a \equiv b \pmod n：$a \equiv b \pmod n$
  • \ldots与\cdots，其区别是dots的位置不同，ldots位置稍低，cdots位置居中。
  • 一些希腊字母具有变体形式，如\epsilon \varepsilon：$\epsilon \varepsilon$。\phi \varphi：$\phi \varphi$

使用Detexify，你可以在网页上画出符号，Detexify会给出相似的符号及其代码。这是一个方便的功能，但是不能保证它给出的符号可以在MathJax中使用，你可以参考supported-latex-commands确定MathJax是否支持此符号。

符号之间的间隙

通常 MathJax 通过内部策略自己管理公式内部的空间，因此a…b与a……b( . 表示空格)都会显示为$a b$。可以通过在ab间加入\，增加些许间隙，\;增加较宽间隙，\quad与\qquad会增加更大的间隙，如$a \qquad b$

顶部符号

对于单字符，\hat：$\hat x$

对于多字符，\widehat：$\widehat {xy}$

类似的还有\overline：$\overline {xyz}$

\vec：$\vec a$

\overrightarrow：$\overrightarrow x$

\dot：$\dot x$

\ddot：$\ddot x$

注意

基础部分就是这些。需要注意的是一些MathJax使用的特殊字符，可以使用\转义为原来的含义。例如：\$：$$$，\_：$_$

表格

使用$$\begin{array}{列样式}...\end{array}$$这样的形式来创建表格，列样式可以是clr表示居中，左，右对齐，还可以使用|表示一条竖线。表格中各行使用\分隔，各列使用&分隔，使用\hline在本行前加入一条直线。例如 $$\begin{array}{c|lcr} n & \text{Left} & \text{Center} & \text{Right} \\ \hline 1 & 0.24 & 1 & 125 \\ 2 & -1 & 189 & -8 \\ 3 & -20 & 2000 & 1+10i \\ \end{array}$$ 结果：

$$ \begin{array}{c|lcr} n & \text{Left} & \text{Center} & \text{Right} \\ \hline 1 & 0.24 & 1 & 125 \\ 2 & -1 & 189 & -8 \\ 3 & -20 & 2000 & 1+10i \\ \end{array} $$


一个复杂的例子如下：

$$ \begin{array}{c}\begin{array}{cc}\begin{array}{c|cccc} \text{min} & 0 & 1 & 2 &3 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 2 & 2 \\ 3 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} & \begin{array}{c|cccc} \text{max} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \end{array} \end{array} \\ \begin{array}{c|cccc} \Delta & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{array}\end{array} $$

矩阵

基本用法

使用$$\begin{matrix}...\end{matrix}$$来表示矩阵，在\begin与\end之间加入矩阵的元素即可。矩阵的行之间用\分隔，列之间用&分隔。例如 $$\begin{matrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{matrix}$$ 结果：

$$ \begin{matrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{matrix} $$


加括号

如果要对矩阵加括号，可以像上文中提到的那样，使用\left与\right配合表示括号符号。也可以使用特殊的matrix，即替换\begin{matrix}...\end{matrix}中的matrix为pmatrix , bmatrix , Bmatrix , vmatrix , Vmatrix

如 pmatrix：$\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ \end{pmatrix}$

bmatrix：$\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ \end{bmatrix}$

Bmatrix：$\begin{Bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ \end{Bmatrix}$

vmatrix：$\begin{vmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ \end{vmatrix}$

Vmatrix：$\begin{Vmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ \end{Vmatrix}$

省略元素

可以使用 \cdots：$\cdots$ 、\ddots：$\ddots$、\vdots：$\vdots$来省略矩阵中的元素，如：

$$ \begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^n \\ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_m & a_m^2 & \cdots & a_m^n \end{pmatrix} $$


增广矩阵

增广矩阵需要使用前面的array来实现，如 $$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right] $$ 结果：

$$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right] $$

对齐的公式

有时候可能需要一系列的公式中等号对齐，如：

$$ \begin{align} \sqrt{37} & = \sqrt{\frac{73^2-1}{12^2}} \\ & = \sqrt{\frac{73^2}{12^2} \cdot \frac{73^2-1}{73^2}} \\ & = \frac{73}{12} \sqrt{1 - \frac{1}{73^2}} \\ & \approx \frac{73}{12} \left( 1 - \frac{1}{2 \cdot 73^2} \right) \end{align} $$


这时候需要使用形如\begin{align}...\end{align}的格式，其中需要使用&来指示需要对齐的位置。

分类表达式

定义函数的时候经常需要分情况给出表达式，可使用\begin{cases}...\end{cases}。其中，使用\来分类，使用&指示需要对齐的位置。如：

$$ f(n) = \begin{cases} n/2, & \text{if $n$ is even} \\ 3n+1, & \text{if $n$ is odd} \end{cases} $$


上述公式也可以移动到右侧，不过需要使用array来实现，如下：

$$ \left. \begin{array}{l} \text{if $n$ is even:} & n/2 \\ \text{if $n$ is odd:} & 3n+1 \end{array} \right\} = f(n) $$


最后，如果需要让分类之间的垂直间隔变大，可以使用\[2ex]代替\来分隔不同情况。（3ex, 4ex也可以使用，1ex相当于原始距离）。

空间问题

在使用LaTex公式时，有一些不会影响公式正确性，但会使其看上去很糟糕的问题。

不要在指数或者积分中使用\frac

在指数或者基本表达式中使用\frac会使表达式看起来不清晰，因此在专业的数学排版中很少被使用。应该使用一个水平的/来代替，效果如下：

$$ \begin{array}{cc} \mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\ \hline \\ e^{i\frac{\pi}{2}} \quad e^{\frac{i\pi}{2}} & e^{i\pi/2} \\ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx & \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin x \, dx \\ \end{array} $$

使用\mid代替|作为分隔符

符号|作为分隔符时有排版空间大小的问题，应该使用\mid代替，效果如下：

$$ \begin{array}{cc} \mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\ \hline \\ \{x | x^2 \in \Bbb Z\} & \{x \mid x^2 \in \Bbb Z \} \end{array} $$

多重积分

对于多重积分，不要使用\int\int此类的表达，应该使用\iint \iiint等特殊形式，效果如下：

$$ \begin{array}{cc} \mathrm{Bad} \mathrm{Better} \\ \hline \\ \int\int_S f(x) \, dy \, dx & \iint_S f(x) \, dy \, dx \\ \int\int\int_V f(x) \, dz \, dy \, dx & \iiint_V f(x) \, dz \, dy \, dx \end{array} $$


此外，在微分前应该使用,来增加些许空间，否则TEX𝑇𝐸𝑋会将微分紧凑地排列在一起，如下：

$$ \begin{array}{cc} \mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\ \hline \\ \iiint_V f(x) dz dy dx & \iiint_V f(x) \, dz \, dy \, dx \end{array} $$

连分数

书写连分数表达式时，请使用\cfrac代替\frac或者\over，两者效果对比如下：

(\cfrac)

$$ x = a_0+\cfrac{1^2}{a_1+\cfrac{2^2}{a_2+\cfrac{3^2}{a_3+\cfrac{4^2}{a_4+\cdots}}}} $$


(\frac)

$$ x = a_0+\frac{1^2}{a_1+\frac{2^2}{a_2+\frac{3^2}{a_3+\frac{4^2}{a_4+\cdots}}}} $$

方程组

使用\begin{array}...\end{array}与\left{…与\right.配合表示方程组，如：

$$ \left\{ \begin{array}{c} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d3 \end{array} \right. $$


同时，还可以使用\begin{cases}...\end{cases}表达同样的方程组，如：

$$ \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{cases} $$


对齐方程组中的＝号，可以使用\begin{aligned}...\end{aligned}，如：

$$ \left\{ \begin{aligned} a_1x+b_1y+c_1z & = d_1+e_1 \\ a_2x+b_2y & = d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z & = d_3 \end{aligned} \right. $$

颜色

命名颜色是浏览器相关的，如果浏览器没有定义相关的颜色名称，则相关文本将被渲染为黑色。以下颜色是HTML4和CSS2标准中定义的一些颜色，其应该被大多数浏览器定义了。

$$ \begin{array}{|rc|} \hline \\ \verb+\color{black}{text}+ & \color{black}{text} \\ \verb+\color{gray}{text}+ & \color{gray}{text} \\ \verb+\color{silver}{text}+ & \color{silver}{text} \\ \verb+\color{white}{text}+ & \color{white}{text} \\ \hline \\ \verb+\color{maroon}{text}+ & \color{maroon}{text} \\ \verb+\color{red}{text}+ & \color{red}{text} \\ \verb+\color{yellow}{text}+ & \color{yellow}{text} \\ \verb+\color{lime}{text}+ & \color{lime}{text} \\ \verb+\color{olive}{text}+ & \color{olive}{text} \\ \verb+\color{green}{text}+ & \color{green}{text} \\ \verb+\color{teal}{text}+ & \color{teal}{text} \\ \verb+\color{aqua}{text}+ & \color{aqua}{text} \\ \verb+\color{blue}{text}+ & \color{blue}{text} \\ \verb+\color{navy}{text}+ & \color{navy}{text} \\ \verb+\color{purple}{text}+ & \color{purple}{text} \\ \verb+\color{fuchsia}{text}+ & \color{fuchsia}{text} \\ \verb+\color{magenta}{text}+ & \color{magenta}{text} \\ \hline \end{array} $$


此外，HTML5和CSS3也定义了一些颜色名称，参见　。同时，颜色也可以使用#rgb的形式来表示，如下：

$$ \begin{array}{|rrrrrrrr|} \hline \verb+#000+ & \color{#000}{text} & & & \verb+#00F+ & \color{#00F}{text} & & \\ & & \verb+#0F0+ & \color{#0F0}{text} & & & \verb+#0FF+ & \color{#0FF}{text} \\ \verb+#F00+ & \color{#F00}{text} & & & \verb+#F0F+ & \color{#F0F}{text} & & \\ & & \verb+#FF0+ & \color{#FF0}{text} & & & \verb+#FFF+ & \color{#FFF}{text} & & \\ \hline \end{array} $$


HTML色彩快速参考手册

公式标记与引用

使用\tag{yourtat}来标记公式，如果想在之后引用该公式，则还需要加上\label{yourlabel}在\tag之后，如：

$$ a:= x^2-y^3 \tag{*}\label{*} $$


为了引用公式，可以使用\eqref{rlabel}，如：

$$ a+y^3 \stackrel{\eqref{*}}=x^2 $$


可以看到，通过超链接可以跳转到被引用公式的位置。

补充

indicator function：\mathbb{I}：$\mathbb{I}$

空心的符号：\mathbb{KL}：$\mathbb{KL}$

向量、矩阵：\mathrm{x, y}：$\mathrm{x, y}$

实值：x：$x$

使用 \begin{align} 时，在每个式子末尾加上 \nonumber 可以去掉显示式子的标号，具体内容参见【链接】

使用KaTeX渲染数学公式

在Word中，我们经常用到公式编辑器，来编辑数学公式。

但是，在网页上，如何方便地插入数学公式呢？比如像这样的公式：

$$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

一个简单的方法是把公式做成图片，但是图片既不好排版，又很难缩放。最好的方法是用文字来描述数学公式，把渲染的工作交给引擎，这样就可以方便地编辑公式。

实际上，在文字处理领域，早就有非常成熟的排版系统LaTeX，它完全使用文本描述排版，对于复杂的数学公式、表格、化学分子式等完全不在话下，甚至可以排五线谱、棋谱、电路图等。

我们的需求是在网页上以文本的形式展示数学公式，所以只需要一个LaTeX的子集，能渲染数学公式即可。

KaTeX就是这样一个支持HTML的轻量级的数学公式引擎，它由Khan Academy开发，使用起来也非常简单。

第一步，引入KaTeX的JS代码与CSS样式：

1
2

<link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex@0.10.1/dist/katex.min.css">
<script defer src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex@0.10.1/dist/katex.min.js"></script>

第二步，通过一个简单的JS调用就可以正确渲染出数学公式：

1

katex.render("x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}", document.getElementById("math"));

使用JavaScript手动渲染还是稍微麻烦了一点，最好是通过Markdown按照下面的语法：

1
2
3

```math
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
```

就自动渲染出数学公式：

$$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

如果要内嵌KaTeX公式，可以用这样的Markdown语法：

1

内嵌的Katex效果$`E=mc^2`$就是这样

内嵌的KaTeX效果‘E=mc2‘‘E=m**c2‘就是这样。

通过一点点JavaScript的代码，很容易实现自动渲染。

可视化

渲染公式很容易，但是像这样的公式：

$$ f(x)=\int_{-\infty}^\infty\widehat f\xi\,e^{2\pi i\xi x}\,d\xi $$

想要正确地写出它的文本形式可不容易：

1

f(x)=\int_{-\infty}^\infty\widehat f\xi\,e^{2\pi i\xi x}\,d\xi

如果仅仅为了写个公式，就去学LaTeX语法，那没有十天半月的肯定不行。这个时候，你需要一个可视化公式编辑器的神器，它可以让我们可视化地编辑公式，然后自动得到它的LaTeX文本。

现在，就可以在页面上愉快地和数学公式玩耍了！