栈

栈（stack）是一种遵循先入后出逻辑的线性数据结构。

我们可以将栈类比为桌面上的一摞盘子，如果想取出底部的盘子，则需要先将上面的盘子依次移走。我们将盘子替换为各种类型的元素（如整数、字符、对象等），就得到了栈这种数据结构。

如图 5-1 所示，我们把堆叠元素的顶部称为“栈顶”，底部称为“栈底”。将把元素添加到栈顶的操作叫作“入栈”，删除栈顶元素的操作叫作“出栈”。

栈的常用操作

栈的常用操作如表 5-1 所示，具体的方法名需要根据所使用的编程语言来确定。在此，我们以常见的 push()、pop()、peek() 命名为例。

表 5-1 栈的操作效率

方法	描述	时间复杂度
`push()`	元素入栈（添加至栈顶）	𝑂(1)
`pop()`	栈顶元素出栈	𝑂(1)
`peek()`	访问栈顶元素	𝑂(1)

通常情况下，我们可以直接使用编程语言内置的栈类。然而，某些语言可能没有专门提供栈类，这时我们可以将该语言的“数组”或“链表”当作栈来使用，并在程序逻辑上忽略与栈无关的操作。

/* 初始化栈 */
Stack<Integer> stack = new Stack<>();

/* 元素入栈 */
stack.push(1);
stack.push(3);
stack.push(2);
stack.push(5);
stack.push(4);

/* 访问栈顶元素 */
int peek = stack.peek();

/* 元素出栈 */
int pop = stack.pop();

/* 获取栈的长度 */
int size = stack.size();

/* 判断是否为空 */
boolean isEmpty = stack.isEmpty();

栈的实现

为了深入了解栈的运行机制，我们来尝试自己实现一个栈类。

栈遵循先入后出的原则，因此我们只能在栈顶添加或删除元素。然而，数组和链表都可以在任意位置添加和删除元素，因此栈可以视为一种受限制的数组或链表。换句话说，我们可以“屏蔽”数组或链表的部分无关操作，使其对外表现的逻辑符合栈的特性。

基于链表的实现

使用链表实现栈时，我们可以将链表的头节点视为栈顶，尾节点视为栈底。

如图 5-2 所示，对于入栈操作，我们只需将元素插入链表头部，这种节点插入方法被称为“头插法”。而对于出栈操作，只需将头节点从链表中删除即可。

LinkedListStack：

push()

pop()

以下是基于链表实现栈的示例代码：

/* 基于链表实现的栈 */
class LinkedListStack {
    private ListNode stackPeek; // 将头节点作为栈顶
    private int stkSize = 0; // 栈的长度

    public LinkedListStack() {
        stackPeek = null;
    }

    /* 获取栈的长度 */
    public int size() {
        return stkSize;
    }

    /* 判断栈是否为空 */
    public boolean isEmpty() {
        return size() == 0;
    }

    /* 入栈 */
    public void push(int num) {
        ListNode node = new ListNode(num);
        node.next = stackPeek;
        stackPeek = node;
        stkSize++;
    }

    /* 出栈 */
    public int pop() {
        int num = peek();
        stackPeek = stackPeek.next;
        stkSize--;
        return num;
    }

    /* 访问栈顶元素 */
    public int peek() {
        if (isEmpty())
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        return stackPeek.val;
    }

    /* 将 List 转化为 Array 并返回 */
    public int[] toArray() {
        ListNode node = stackPeek;
        int[] res = new int[size()];
        for (int i = res.length - 1; i >= 0; i--) {
            res[i] = node.val;
            node = node.next;
        }
        return res;
    }
}

基于数组的实现

使用数组实现栈时，我们可以将数组的尾部作为栈顶。如图 5-3 所示，入栈与出栈操作分别对应在数组尾部添加元素与删除元素，时间复杂度都为 𝑂(1) 。

由于入栈的元素可能会源源不断地增加，因此我们可以使用动态数组，这样就无须自行处理数组扩容问题。以下为示例代码：

/* 基于数组实现的栈 */
class ArrayStack {
    private ArrayList<Integer> stack;

    public ArrayStack() {
        // 初始化列表（动态数组）
        stack = new ArrayList<>();
    }

    /* 获取栈的长度 */
    public int size() {
        return stack.size();
    }

    /* 判断栈是否为空 */
    public boolean isEmpty() {
        return size() == 0;
    }

    /* 入栈 */
    public void push(int num) {
        stack.add(num);
    }

    /* 出栈 */
    public int pop() {
        if (isEmpty())
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        return stack.remove(size() - 1);
    }

    /* 访问栈顶元素 */
    public int peek() {
        if (isEmpty())
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        return stack.get(size() - 1);
    }

    /* 将 List 转化为 Array 并返回 */
    public Object[] toArray() {
        return stack.toArray();
    }
}

两种实现对比

支持操作

两种实现都支持栈定义中的各项操作。数组实现额外支持随机访问，但这已超出了栈的定义范畴，因此一般不会用到。

时间效率

在基于数组的实现中，入栈和出栈操作都在预先分配好的连续内存中进行，具有很好的缓存本地性，因此效率较高。然而，如果入栈时超出数组容量，会触发扩容机制，导致该次入栈操作的时间复杂度变为 𝑂(𝑛) 。

在基于链表的实现中，链表的扩容非常灵活，不存在上述数组扩容时效率降低的问题。但是，入栈操作需要初始化节点对象并修改指针，因此效率相对较低。不过，如果入栈元素本身就是节点对象，那么可以省去初始化步骤，从而提高效率。

综上所述，当入栈与出栈操作的元素是基本数据类型时，例如 int 或 double ，我们可以得出以下结论。

基于数组实现的栈在触发扩容时效率会降低，但由于扩容是低频操作，因此平均效率更高。
基于链表实现的栈可以提供更加稳定的效率表现。

空间效率

在初始化列表时，系统会为列表分配“初始容量”，该容量可能超出实际需求；并且，扩容机制通常是按照特定倍率（例如 2 倍）进行扩容的，扩容后的容量也可能超出实际需求。因此，基于数组实现的栈可能造成一定的空间浪费。

然而，由于链表节点需要额外存储指针，因此链表节点占用的空间相对较大。

综上，我们不能简单地确定哪种实现更加节省内存，需要针对具体情况进行分析。

栈的典型应用

浏览器中的后退与前进、软件中的撤销与反撤销。每当我们打开新的网页，浏览器就会对上一个网页执行入栈，这样我们就可以通过后退操作回到上一个网页。后退操作实际上是在执行出栈。如果要同时支持后退和前进，那么需要两个栈来配合实现。
程序内存管理。每次调用函数时，系统都会在栈顶添加一个栈帧，用于记录函数的上下文信息。在递归函数中，向下递推阶段会不断执行入栈操作，而向上回溯阶段则会不断执行出栈操作。

队列

队列（queue）是一种遵循先入先出规则的线性数据结构。顾名思义，队列模拟了排队现象，即新来的人不断加入队列尾部，而位于队列头部的人逐个离开。

如图 5-4 所示，我们将队列头部称为“队首”，尾部称为“队尾”，将把元素加入队尾的操作称为“入队”，删除队首元素的操作称为“出队”。

队列常用操作

队列的常见操作如表 5-2 所示。需要注意的是，不同编程语言的方法名称可能会有所不同。我们在此采用与栈相同的方法命名。

表 5-2 队列操作效率

方法名	描述	时间复杂度
`push()`	元素入队，即将元素添加至队尾	𝑂(1)
`pop()`	队首元素出队	𝑂(1)
`peek()`	访问队首元素	𝑂(1)

我们可以直接使用编程语言中现成的队列类：

/* 初始化队列 */
Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();

/* 元素入队 */
queue.offer(1);
queue.offer(3);
queue.offer(2);
queue.offer(5);
queue.offer(4);

/* 访问队首元素 */
int peek = queue.peek();

/* 元素出队 */
int pop = queue.poll();

/* 获取队列的长度 */
int size = queue.size();

/* 判断队列是否为空 */
boolean isEmpty = queue.isEmpty();

队列实现

为了实现队列，我们需要一种数据结构，可以在一端添加元素，并在另一端删除元素，链表和数组都符合要求。

基于链表的实现

如图 5-5 所示，我们可以将链表的“头节点”和“尾节点”分别视为“队首”和“队尾”，规定队尾仅可添加节点，队首仅可删除节点。

以下是用链表实现队列的代码：

/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue {
    private ListNode front, rear; // 头节点 front ，尾节点 rear
    private int queSize = 0;

    public LinkedListQueue() {
        front = null;
        rear = null;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    public int size() {
        return queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    public boolean isEmpty() {
        return size() == 0;
    }

    /* 入队 */
    public void push(int num) {
        // 在尾节点后添加 num
        ListNode node = new ListNode(num);
        // 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
        if (front == null) {
            front = node;
            rear = node;
        // 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
        } else {
            rear.next = node;
            rear = node;
        }
        queSize++;
    }

    /* 出队 */
    public int pop() {
        int num = peek();
        // 删除头节点
        front = front.next;
        queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    public int peek() {
        if (isEmpty())
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        return front.val;
    }

    /* 将链表转化为 Array 并返回 */
    public int[] toArray() {
        ListNode node = front;
        int[] res = new int[size()];
        for (int i = 0; i < res.length; i++) {
            res[i] = node.val;
            node = node.next;
        }
        return res;
    }
}

基于数组的实现

在数组中删除首元素的时间复杂度为 𝑂(𝑛) ，这会导致出队操作效率较低。然而，我们可以采用以下巧妙方法来避免这个问题。

我们可以使用一个变量 front 指向队首元素的索引，并维护一个变量 size 用于记录队列长度。定义 rear = front + size ，这个公式计算出的 rear 指向队尾元素之后的下一个位置。

基于此设计，数组中包含元素的有效区间为 [front, rear - 1]，各种操作的实现方法如图 5-6 所示。

入队操作：将输入元素赋值给 rear 索引处，并将 size 增加 1 。
出队操作：只需将 front 增加 1 ，并将 size 减少 1 。

可以看到，入队和出队操作都只需进行一次操作，时间复杂度均为 𝑂(1) 。

你可能会发现一个问题：在不断进行入队和出队的过程中，front 和 rear 都在向右移动，当它们到达数组尾部时就无法继续移动了。为了解决此问题，我们可以将数组视为首尾相接的“环形数组”。

对于环形数组，我们需要让 front 或 rear 在越过数组尾部时，直接回到数组头部继续遍历。这种周期性规律可以通过“取余操作”来实现，代码如下所示：

/* 基于环形数组实现的队列 */
class ArrayQueue {
    private int[] nums; // 用于存储队列元素的数组
    private int front; // 队首指针，指向队首元素
    private int queSize; // 队列长度

    public ArrayQueue(int capacity) {
        nums = new int[capacity];
        front = queSize = 0;
    }

    /* 获取队列的容量 */
    public int capacity() {
        return nums.length;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    public int size() {
        return queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    public boolean isEmpty() {
        return queSize == 0;
    }

    /* 入队 */
    public void push(int num) {
        if (queSize == capacity()) {
            System.out.println("队列已满");
            return;
        }
        // 计算队尾指针，指向队尾索引 + 1
        // 通过取余操作实现 rear 越过数组尾部后回到头部
        int rear = (front + queSize) % capacity();
        // 将 num 添加至队尾
        nums[rear] = num;
        queSize++;
    }

    /* 出队 */
    public int pop() {
        int num = peek();
        // 队首指针向后移动一位，若越过尾部，则返回到数组头部
        front = (front + 1) % capacity();
        queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    public int peek() {
        if (isEmpty())
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        return nums[front];
    }

    /* 返回数组 */
    public int[] toArray() {
        // 仅转换有效长度范围内的列表元素
        int[] res = new int[queSize];
        for (int i = 0, j = front; i < queSize; i++, j++) {
            res[i] = nums[j % capacity()];
        }
        return res;
    }
}

以上实现的队列仍然具有局限性：其长度不可变。然而，这个问题不难解决，我们可以将数组替换为动态数组，从而引入扩容机制。有兴趣的读者可以尝试自行实现。

两种实现的对比结论与栈一致，在此不再赘述。

队列典型应用

淘宝订单。购物者下单后，订单将加入队列中，系统随后会根据顺序处理队列中的订单。在双十一期间，短时间内会产生海量订单，高并发成为工程师们需要重点攻克的问题。
各类待办事项。任何需要实现“先来后到”功能的场景，例如打印机的任务队列、餐厅的出餐队列等，队列在这些场景中可以有效地维护处理顺序。

双向队列

在队列中，我们仅能删除头部元素或在尾部添加元素。如图 5-7 所示，双向队列（double-ended queue）提供了更高的灵活性，允许在头部和尾部执行元素的添加或删除操作。

双向队列常用操作

双向队列的常用操作如表 5-3 所示，具体的方法名称需要根据所使用的编程语言来确定。

表 5-3 双向队列操作效率

方法名	描述	时间复杂度
`push_first()`	将元素添加至队首	𝑂(1)
`push_last()`	将元素添加至队尾	𝑂(1)
`pop_first()`	删除队首元素	𝑂(1)
`pop_last()`	删除队尾元素	𝑂(1)
`peek_first()`	访问队首元素	𝑂(1)
`peek_last()`	访问队尾元素	𝑂(1)

同样地，我们可以直接使用编程语言中已实现的双向队列类：

/* 初始化双向队列 */
Deque<Integer> deque = new LinkedList<>();

/* 元素入队 */
deque.offerLast(2);   // 添加至队尾
deque.offerLast(5);
deque.offerLast(4);
deque.offerFirst(3);  // 添加至队首
deque.offerFirst(1);

/* 访问元素 */
int peekFirst = deque.peekFirst();  // 队首元素
int peekLast = deque.peekLast();    // 队尾元素

/* 元素出队 */
int popFirst = deque.pollFirst();  // 队首元素出队
int popLast = deque.pollLast();    // 队尾元素出队

/* 获取双向队列的长度 */
int size = deque.size();

/* 判断双向队列是否为空 */
boolean isEmpty = deque.isEmpty();

双向队列实现

双向队列的实现与队列类似，可以选择链表或数组作为底层数据结构。

基于双向链表的实现

回顾上一节内容，我们使用普通单向链表来实现队列，因为它可以方便地删除头节点（对应出队操作）和在尾节点后添加新节点（对应入队操作）。

对于双向队列而言，头部和尾部都可以执行入队和出队操作。换句话说，双向队列需要实现另一个对称方向的操作。为此，我们采用“双向链表”作为双向队列的底层数据结构。

如图 5-8 所示，我们将双向链表的头节点和尾节点视为双向队列的队首和队尾，同时实现在两端添加和删除节点的功能。

LinkedListDeque：

push_last()：

push_first()：

pop_last()：

pop_first()：

实现代码如下所示：

/* 双向链表节点 */
class ListNode {
    int val; // 节点值
    ListNode next; // 后继节点引用
    ListNode prev; // 前驱节点引用

    ListNode(int val) {
        this.val = val;
        prev = next = null;
    }
}

/* 基于双向链表实现的双向队列 */
class LinkedListDeque {
    private ListNode front, rear; // 头节点 front ，尾节点 rear
    private int queSize = 0; // 双向队列的长度

    public LinkedListDeque() {
        front = rear = null;
    }

    /* 获取双向队列的长度 */
    public int size() {
        return queSize;
    }

    /* 判断双向队列是否为空 */
    public boolean isEmpty() {
        return size() == 0;
    }

    /* 入队操作 */
    private void push(int num, boolean isFront) {
        ListNode node = new ListNode(num);
        // 若链表为空，则令 front 和 rear 都指向 node
        if (isEmpty())
            front = rear = node;
        // 队首入队操作
        else if (isFront) {
            // 将 node 添加至链表头部
            front.prev = node;
            node.next = front;
            front = node; // 更新头节点
        // 队尾入队操作
        } else {
            // 将 node 添加至链表尾部
            rear.next = node;
            node.prev = rear;
            rear = node; // 更新尾节点
        }
        queSize++; // 更新队列长度
    }

    /* 队首入队 */
    public void pushFirst(int num) {
        push(num, true);
    }

    /* 队尾入队 */
    public void pushLast(int num) {
        push(num, false);
    }

    /* 出队操作 */
    private int pop(boolean isFront) {
        if (isEmpty())
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        int val;
        // 队首出队操作
        if (isFront) {
            val = front.val; // 暂存头节点值
            // 删除头节点
            ListNode fNext = front.next;
            if (fNext != null) {
                fNext.prev = null;
                front.next = null;
            }
            front = fNext; // 更新头节点
        // 队尾出队操作
        } else {
            val = rear.val; // 暂存尾节点值
            // 删除尾节点
            ListNode rPrev = rear.prev;
            if (rPrev != null) {
                rPrev.next = null;
                rear.prev = null;
            }
            rear = rPrev; // 更新尾节点
        }
        queSize--; // 更新队列长度
        return val;
    }

    /* 队首出队 */
    public int popFirst() {
        return pop(true);
    }

    /* 队尾出队 */
    public int popLast() {
        return pop(false);
    }

    /* 访问队首元素 */
    public int peekFirst() {
        if (isEmpty())
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        return front.val;
    }

    /* 访问队尾元素 */
    public int peekLast() {
        if (isEmpty())
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        return rear.val;
    }

    /* 返回数组用于打印 */
    public int[] toArray() {
        ListNode node = front;
        int[] res = new int[size()];
        for (int i = 0; i < res.length; i++) {
            res[i] = node.val;
            node = node.next;
        }
        return res;
    }
}

基于数组的实现

如图 5-9 所示，与基于数组实现队列类似，我们也可以使用环形数组来实现双向队列。

ArrayDeque()：

push_last()：

push_first()：

pop_last()：

pop_first()：

在队列的实现基础上，仅需增加“队首入队”和“队尾出队”的方法：

/* 基于环形数组实现的双向队列 */
class ArrayDeque {
    private int[] nums; // 用于存储双向队列元素的数组
    private int front; // 队首指针，指向队首元素
    private int queSize; // 双向队列长度

    /* 构造方法 */
    public ArrayDeque(int capacity) {
        this.nums = new int[capacity];
        front = queSize = 0;
    }

    /* 获取双向队列的容量 */
    public int capacity() {
        return nums.length;
    }

    /* 获取双向队列的长度 */
    public int size() {
        return queSize;
    }

    /* 判断双向队列是否为空 */
    public boolean isEmpty() {
        return queSize == 0;
    }

    /* 计算环形数组索引 */
    private int index(int i) {
        // 通过取余操作实现数组首尾相连
        // 当 i 越过数组尾部后，回到头部
        // 当 i 越过数组头部后，回到尾部
        return (i + capacity()) % capacity();
    }

    /* 队首入队 */
    public void pushFirst(int num) {
        if (queSize == capacity()) {
            System.out.println("双向队列已满");
            return;
        }
        // 队首指针向左移动一位
        // 通过取余操作实现 front 越过数组头部后回到尾部
        front = index(front - 1);
        // 将 num 添加至队首
        nums[front] = num;
        queSize++;
    }

    /* 队尾入队 */
    public void pushLast(int num) {
        if (queSize == capacity()) {
            System.out.println("双向队列已满");
            return;
        }
        // 计算队尾指针，指向队尾索引 + 1
        int rear = index(front + queSize);
        // 将 num 添加至队尾
        nums[rear] = num;
        queSize++;
    }

    /* 队首出队 */
    public int popFirst() {
        int num = peekFirst();
        // 队首指针向后移动一位
        front = index(front + 1);
        queSize--;
        return num;
    }

    /* 队尾出队 */
    public int popLast() {
        int num = peekLast();
        queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    public int peekFirst() {
        if (isEmpty())
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        return nums[front];
    }

    /* 访问队尾元素 */
    public int peekLast() {
        if (isEmpty())
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        // 计算尾元素索引
        int last = index(front + queSize - 1);
        return nums[last];
    }

    /* 返回数组用于打印 */
    public int[] toArray() {
        // 仅转换有效长度范围内的列表元素
        int[] res = new int[queSize];
        for (int i = 0, j = front; i < queSize; i++, j++) {
            res[i] = nums[index(j)];
        }
        return res;
    }
}

双向队列应用

双向队列兼具栈与队列的逻辑，因此它可以实现这两者的所有应用场景，同时提供更高的自由度。

我们知道，软件的“撤销”功能通常使用栈来实现：系统将每次更改操作 push 到栈中，然后通过 pop 实现撤销。然而，考虑到系统资源的限制，软件通常会限制撤销的步数（例如仅允许保存 50 步）。当栈的长度超过 50 时，软件需要在栈底（队首）执行删除操作。但栈无法实现该功能，此时就需要使用双向队列来替代栈。请注意，“撤销”的核心逻辑仍然遵循栈的先入后出原则，只是双向队列能够更加灵活地实现一些额外逻辑。

小结

重点回顾

栈是一种遵循先入后出原则的数据结构，可通过数组或链表来实现。
在时间效率方面，栈的数组实现具有较高的平均效率，但在扩容过程中，单次入栈操作的时间复杂度会劣化至 𝑂(𝑛) 。相比之下，栈的链表实现具有更为稳定的效率表现。
在空间效率方面，栈的数组实现可能导致一定程度的空间浪费。但需要注意的是，链表节点所占用的内存空间比数组元素更大。
队列是一种遵循先入先出原则的数据结构，同样可以通过数组或链表来实现。在时间效率和空间效率的对比上，队列的结论与前述栈的结论相似。
双向队列是一种具有更高自由度的队列，它允许在两端进行元素的添加和删除操作。

Q & A

Q：浏览器的前进后退是否是双向链表实现？

浏览器的前进后退功能本质上是“栈”的体现。当用户访问一个新页面时，该页面会被添加到栈顶；当用户点击后退按钮时，该页面会从栈顶弹出。使用双向队列可以方便地实现一些额外操作，这个在“双向队列”章节有提到。

Q：在出栈后，是否需要释放出栈节点的内存？

如果后续仍需要使用弹出节点，则不需要释放内存。若之后不需要用到，Java 和 Python 等语言拥有自动垃圾回收机制，因此不需要手动释放内存；在 C 和 C++ 中需要手动释放内存。

Q：双向队列像是两个栈拼接在了一起，它的用途是什么？

双向队列就像是栈和队列的组合或两个栈拼在了一起。它表现的是栈 + 队列的逻辑，因此可以实现栈与队列的所有应用，并且更加灵活。

Q：撤销（undo）和反撤销（redo）具体是如何实现的？

使用两个栈，栈 A 用于撤销，栈 B 用于反撤销。

每当用户执行一个操作，将这个操作压入栈 A ，并清空栈 B 。
当用户执行“撤销”时，从栈 A 中弹出最近的操作，并将其压入栈 B 。
当用户执行“反撤销”时，从栈 B 中弹出最近的操作，并将其压入栈 A 。

栈#

栈的常用操作#

栈的实现#

基于链表的实现#

基于数组的实现#

两种实现对比#

栈的典型应用#

队列#

队列常用操作#

队列实现#

基于链表的实现#

基于数组的实现#

队列典型应用#

双向队列#

双向队列常用操作#

双向队列实现#

基于双向链表的实现#

基于数组的实现#

双向队列应用#

小结#

重点回顾#

Q & A#

栈

栈的常用操作

栈的实现

基于链表的实现

基于数组的实现

两种实现对比

栈的典型应用

队列

队列常用操作

队列实现

基于链表的实现

基于数组的实现

队列典型应用

双向队列

双向队列常用操作

双向队列实现

基于双向链表的实现

基于数组的实现

双向队列应用

小结

重点回顾

Q & A